Kategorie: Skat

Bei manchen Onlineskatspielanbietern werden gewisse Kennzahlen seiner jeweiligen Gegner angezeigt, etwa durchschnittliche Punktzahl, aber manchmal eben auch so interessante wie:

• Anzahl der Spiele
• Relativer Anteil der gespielten Spiele \( r \)
• Relativer Anteil der gewonnen Spiele \( w \)

So kann man die Spieler leicht kategorisieren, denn interessanter Weise weichen die Werte zum Teil erheblich von den erwarteten Werten wie \( r = 1/3 \) und \( w = 5/6 \) ab.

Tighte Spieler

So gibt es Spieler, die beispielsweise Kennzahlen haben wie: \( r = 0.1 \) und \( w = 0.9 \), also sehr selten mit sehr starken Blättern spielen.

Was ist die beste Gegenstrategie gegen diese Spieler, so sie denn einmal anfangen zu reizen? Kurioserweise mag die Intuition einem einflüstern, ebenfalls konservativer und vorsichtiger zu werden.

Die Mathematik spricht hingegen eine andere Sprache.

Dadurch, dass sie – wenn sie spielen – so oft gewinnen, ist ihr Erwartungswert entsprechend hoch:

\[ \mathbb{E} = 0.9 \cdot X – 2 \cdot 0.1 \cdot X = 0.7 \cdot X \]

wenn \( X \) der Reizwert, also der minimale Spielwert ist.

Wenn jener Spieler also ans Spiel kommt, verlieren wir also in Erwartung den gleichen Wert. Für unsere eigene Mindestgewinnwahrscheinlichkeit \( p \) gilt also:

\[
p X – 2(1-p)X \geq -0.7 \cdot X \\
\Rightarrow p \geq 1.3/3 = 43\%
\]

Es genügt also nur eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 43%, damit es sich lohnt, dem konservativen Spieler das Spiel abzujagen!

Loose Spieler

Analog kontraintuitiv verhält es sich bei „loosen“, also risikofreudigen Spielern. Beispielsweise gibt es Fälle, wo tatsächlich etwas wie \( r = 0.5 \) mit \( w = 0.6 \) gesichtet wurde.

Diese gewinnen in Erwartung:

\[ \mathbb{E} = 0.6 \cdot X – 2 \cdot 0.4 \cdot X = -0.2 \cdot X \]

Jedes Mal, wenn diese Spieler spielen, gewinnt man also mindestens \( 0.2 \cdot X \).

Daher:

\[
p X – 2(1-p)X \geq 0.2 \cdot X \\
\Rightarrow p \geq 2.2/3 = 73\%
\]

Allgemein

Was also im Poker eine – simplifizierte – Binsenweisheit ist:

Spiele tight gegen loose Gegner und loose gegen tighte Gegner.

gilt auch im Skat.

Allgemein gilt also:

\[
pX – 2(1-p)X \geq wX – 2(1-w)X \\
\Rightarrow p \geq 4/3 – w.
\]

Anhand dieser Formel sieht man im übrigen auch, dass für die Extremalfälle \( w = 0 \), \(w = 1/3 \) und \( w = 1 \) gilt:

Wenn der Gegner nie gewinnt und immer verliert, brauchen wir selbst quasi nie zu spielen – außer die sogenannten unverlierbaren Spiele.

Selbst wenn der Gegner nur im Durchschnitt 1/3 der Spiele gewinnt, sollten wir nur die Unverlierbaren spielen.

Wenn der Gegner immer gewinnt, brauchen wir nur eine Mindestgewinnwahrscheinlichkeit von 1/3, um ihm das Spiel profitabel „wegzureizen“.

Beim Skat wird ein verlorenes Spiel doppelt bestraft, wie ein gewonnenes Spiel belohnt wird.

Wenn man beispielsweise einen einfachen Grand gewinnt, gewinnt man 48 Punkte. Bei Verlust werden einem 96 Punkte abgezogen.
(Auf das Seeger-System gehe ich hier nicht ein, aber ich halte es für Unsinn. Und es tut auch hier nichts zur Sache.)

Das führt dazu, dass man eine Gewinnwahrscheinlichkeit \( p \) von 2/3 benötigt, um break-even zu sein:

\[
pX – (1-p) \cdot 2X \geq 0
\Rightarrow p \geq 2/3
\]

So weit, so klar.

Angenommen, wir sind beim Reizen und Mittelhand passte, also haben wir nur noch ein „Reizspiel“ zwischen Hinterhand und Vorhand.

Nehmen wir zur unwesentlichen Vereinfachung weiter an, dass man nicht den Spielwert, sondern den Reizwert gewinnt oder verliert. Sprich:
Auch wenn Hinterhand bis 20 reizt, Vorhand passt, Hinterhand Grand spielt, ist der Spielwert nicht ein Vielfaches von 24, sondern bei 20 gedeckelt.

Nehmen wir weiterhin an, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten gleichverteilt sind, dass also ein Blatt, das 50% Gewinnwahrscheinlichkeit hat, genau so oft vorkommt wie ein Blatt, das 100% Gewinnwahrscheinlichkeit hat.

Nehmen wir nun an, Hinterhand reizt nach der 2/3-Regel. Dann wissen wir, dass Hinterhand mindestens eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 hat, aber – da gleichverteilt – auch höhere Gewinnwahrscheinlichkeiten genau so oft hat.

Daher ist die mittlere Gewinnwahrscheinlichkeit, mit der Hinterhand, im Folgenden Spieler B genannt, reizt, 5/6:

\[
\bar{p_B} = 5/6
\]

Daher ist Spieler Bs Erwartungswert für Reizwert \( X \):

\[ \mathbb{E_B} = \bar{p_B} X – 2(1-\bar{p_B}) X = X \cdot (\bar{p_B} – 2(1-\bar{p_B})) = X \cdot (3\bar{p_B}-2)
\]

Vereinfachen wir das Ganze noch einen kleinen Schritt und gehen von einem konstanten Reizwert \( X = 1 \) aus.

Somit ergibt sich:

\[
\mathbb{E_B} = 3 \cdot 5/6 – 2 = 3/6 = 1/2
\]

Der Erwartungswert für B unter diesen Annahmen ist also 1/2.

Der Erwartungswert von A hingegen, da Skat ein Nullsummenspiel ist, ist genau das Gegenteil: -1/2.

Für A ist der Wert des Passens somit -1/2. Damit A also mitgeht oder weiterreizt, muss der Erwartungswert seines Engagements also nicht \( \geq 0 \), sondern schlicht \( \geq -1/2 \) sein.

Daher wird A seine break-even Gewinnwahrscheinlichkeit anpassen. Die ursprünglich gesetzte 2/3 ist jetzt gar nicht mehr optimal, sondern auch schlechtere Werte als 2/3 sind zulässig, solange sie Spieler B keinen positiven erwarteten Gewinn bescheren.

Daher muss für die minimale Gewinnwahrscheinlichkeit von A jetzt gelten:

\[
\mathbb{E_A} \geq – \mathbb{E_B} \\
\Rightarrow 3p_A – 2 \geq -1/2 \\
\Rightarrow p_A \geq 1/2
\]

A’s break-even Gewinnwahrscheinlichkeit ist also nur noch 1/2, nicht 2/3.

Weiter geht’s:

Wenn B nun weiß, dass A’s break-even Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 ist, weiß B auch, dass A’s Gewinnwahrscheinlichkeit 3/4 ist – da gleichverteilt.
Dann ist A’s Erwartungswert:

\[
\mathbb{E_A} = 3 * 3/4 – 2 = 1/4
\]

Wiederum überlegt sich nun B: Der Erwartungswert von A ist 1/4, also der Wert des Passens ist für mich -1/4, also muss ich meine Gewinnwahrscheinlichkeit anpassen: Sie muss nicht besser also 0, sondern besser als -1/4 sein:

\[
\mathbb{E_B} \geq – \mathbb{E_A} = -1/4 \\
\Rightarrow 3p_B – 2 \geq -1/4 \\
\Rightarrow p_B \geq 7/12
\]

Nun muss A seine Strategie anpassen….

Tatsächlich führt das zu folgender Rekursionsgleichung:

\[
p_{n+1} – 2(1-p_{n+1}) = -[ 1/2 \cdot (p_n+1) – 2 \cdot (1-1/2(p_n+1)) ] \\
\Rightarrow p_{n+1} = 5/6 – 1/2 p_n
\]

Diese konvergiert gegen das Gleichgewicht 5/9.