Beim Skat wird ein verlorenes Spiel doppelt bestraft, wie ein gewonnenes Spiel belohnt wird.

Wenn man beispielsweise einen einfachen Grand gewinnt, gewinnt man 48 Punkte. Bei Verlust werden einem 96 Punkte abgezogen.
(Auf das Seeger-System gehe ich hier nicht ein, aber ich halte es für Unsinn. Und es tut auch hier nichts zur Sache.)

Das führt dazu, dass man eine Gewinnwahrscheinlichkeit \( p \) von 2/3 benötigt, um break-even zu sein:

\[
pX – (1-p) \cdot 2X \geq 0
\Rightarrow p \geq 2/3
\]

So weit, so klar.

Angenommen, wir sind beim Reizen und Mittelhand passte, also haben wir nur noch ein „Reizspiel“ zwischen Hinterhand und Vorhand.

Nehmen wir zur unwesentlichen Vereinfachung weiter an, dass man nicht den Spielwert, sondern den Reizwert gewinnt oder verliert. Sprich:
Auch wenn Hinterhand bis 20 reizt, Vorhand passt, Hinterhand Grand spielt, ist der Spielwert nicht ein Vielfaches von 24, sondern bei 20 gedeckelt.

Nehmen wir weiterhin an, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten gleichverteilt sind, dass also ein Blatt, das 50% Gewinnwahrscheinlichkeit hat, genau so oft vorkommt wie ein Blatt, das 100% Gewinnwahrscheinlichkeit hat.

Nehmen wir nun an, Hinterhand reizt nach der 2/3-Regel. Dann wissen wir, dass Hinterhand mindestens eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 hat, aber – da gleichverteilt – auch höhere Gewinnwahrscheinlichkeiten genau so oft hat.

Daher ist die mittlere Gewinnwahrscheinlichkeit, mit der Hinterhand, im Folgenden Spieler B genannt, reizt, 5/6:

\[
\bar{p_B} = 5/6
\]

Daher ist Spieler Bs Erwartungswert für Reizwert \( X \):

\[ \mathbb{E_B} = \bar{p_B} X – 2(1-\bar{p_B}) X = X \cdot (\bar{p_B} – 2(1-\bar{p_B})) = X \cdot (3\bar{p_B}-2)
\]

Vereinfachen wir das Ganze noch einen kleinen Schritt und gehen von einem konstanten Reizwert \( X = 1 \) aus.

Somit ergibt sich:

\[
\mathbb{E_B} = 3 \cdot 5/6 – 2 = 3/6 = 1/2
\]

Der Erwartungswert für B unter diesen Annahmen ist also 1/2.

Der Erwartungswert von A hingegen, da Skat ein Nullsummenspiel ist, ist genau das Gegenteil: -1/2.

Für A ist der Wert des Passens somit -1/2. Damit A also mitgeht oder weiterreizt, muss der Erwartungswert seines Engagements also nicht \( \geq 0 \), sondern schlicht \( \geq -1/2 \) sein.

Daher wird A seine break-even Gewinnwahrscheinlichkeit anpassen. Die ursprünglich gesetzte 2/3 ist jetzt gar nicht mehr optimal, sondern auch schlechtere Werte als 2/3 sind zulässig, solange sie Spieler B keinen positiven erwarteten Gewinn bescheren.

Daher muss für die minimale Gewinnwahrscheinlichkeit von A jetzt gelten:

\[
\mathbb{E_A} \geq – \mathbb{E_B} \\
\Rightarrow 3p_A – 2 \geq -1/2 \\
\Rightarrow p_A \geq 1/2
\]

A’s break-even Gewinnwahrscheinlichkeit ist also nur noch 1/2, nicht 2/3.

Weiter geht’s:

Wenn B nun weiß, dass A’s break-even Gewinnwahrscheinlichkeit 1/2 ist, weiß B auch, dass A’s Gewinnwahrscheinlichkeit 3/4 ist – da gleichverteilt.
Dann ist A’s Erwartungswert:

\[
\mathbb{E_A} = 3 * 3/4 – 2 = 1/4
\]

Wiederum überlegt sich nun B: Der Erwartungswert von A ist 1/4, also der Wert des Passens ist für mich -1/4, also muss ich meine Gewinnwahrscheinlichkeit anpassen: Sie muss nicht besser also 0, sondern besser als -1/4 sein:

\[
\mathbb{E_B} \geq – \mathbb{E_A} = -1/4 \\
\Rightarrow 3p_B – 2 \geq -1/4 \\
\Rightarrow p_B \geq 7/12
\]

Nun muss A seine Strategie anpassen….

Tatsächlich führt das zu folgender Rekursionsgleichung:

\[
p_{n+1} – 2(1-p_{n+1}) = -[ 1/2 \cdot (p_n+1) – 2 \cdot (1-1/2(p_n+1)) ] \\
\Rightarrow p_{n+1} = 5/6 – 1/2 p_n
\]

Diese konvergiert gegen das Gleichgewicht 5/9.